Question

如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将BD绕点B逆时针旋转30°到BE所在的位置，BE与AD交于点F，分别连接DE、CE.

（1）求证：DE=DF；

（2）求证：AE∥BD；

（3）求tan∠ACE的值.

Answer

（1）证明见解析（2）证明见解析 （3）

【解析】试题分析：（1）根据旋转的性质和等腰三角形的性质易得∠BDE=∠BED=75°，根据正方形的性质可得∠ADB=45°，所以∠EDF=30°，在△DEF中，根据三角形的内角和定理可得∠DFE=75°，所以∠DFE=∠DEF，即可得DE=DF ；（2）过点E作EG⊥BD于点G，易证四边形AOGE是矩形，即可得结论；（3）设EG=x，则BE=BD=AC=2EG=2x, Rt△BEG中，由勾股定理可得BG= ，即可得OG=()x，再由AE=OG即可得结论.

试题解析：

（1）∵BD绕点B逆时针旋转30°至BE，

∴∠DBE=30°，BD=BE,

∴∠BDE=∠BED==75°

在正方形ABCD中，BD是对角线，

∴∠ADB=45°，

∴∠EDF=75°－45°=30°，

在△DEF中，∠DFE=180°－∠EDF－∠FED

=180°－30°－75°

=75°

∴∠DFE=∠DEF

∴DE=DF

（2）证明：过点E作EG⊥BD于点G，

∵∠DBE=30°

∴EG=

在正方形ABCD中，AC、BD是对角线，

∴AC=BD，OA= ，AC⊥BD

∴EG=OA且EG∥OA

∴四边形AOGE是平行四边形，

∴四边形AOGE是矩形

∴AE∥BD

（3）设EG=x，

则BE=BD=AC=2EG=2x,

Rt△BEG中，BG= ，

∴OG=BG－BO=()x，

在矩形AOGE中，∠EAO=90°

AE=OG=()x

∴tan∠ACE=

点睛：本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、正方形的性质。矩形的判定及性质、锐角三角函数的知识，是一道典型的几何图形的综合题，解决问题的关键是把基础知识掌握住，做到融会贯通.