Question

认真阅读下面的材料，完成有关问题．

材料：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|=|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．

（1）一般地，点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为　　（用含绝对值的式子表示）．

（2）利用数轴探究：

①满足|x﹣3|+|x+1|=6的x的所有值是　　．

②|x﹣3|+|x+1|的最小值是　　．

Answer

（1）|x+2|+|x﹣1|；（2）①﹣2或4，②4.

【解析】试题分析：（1）根据两点间的距离公式，可得A到B的距离与A到C的距离之和；（2）①根据两点间的距离公式，分类讨论，即可解答；②x为有理数，所以要根据x﹣1与x+3的正负情况分类讨论，再去掉绝对值符号化简计算．

试题解析：（1）∵A到B的距离为|x﹣（﹣2）|，与A到C的距离为|x﹣1|，

∴A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+2|+|x﹣1|，

故答案为：|x+2|+|x﹣1|；

（2）①根据绝对值的几何含义可得，|x﹣3|+|x+1|表示数轴上x与3的距离与x与﹣1的距离之和，

若x＜﹣1，则3﹣x+（﹣x﹣1）=6，即x=﹣2；

若﹣1≤x≤3，则3﹣x+x+1=6，方程无解，舍去；

若x＞3，则x﹣3+x+1=6，即x=4，

∴满足|x﹣3|+|x+1|=6的x的所有值是﹣2，4，

故答案为：﹣2，4；

②分情况讨论：

当x＜﹣1时，x+1＜0，x﹣3＜0，所以|x+1|+|x﹣3|=﹣（x+1）﹣（x﹣3）=﹣2x+2＞4；

当﹣1≤x＜3时，x+1≥0，x﹣3＜0，所以|x+1|+|x﹣3|=（x+1）﹣（x﹣3）=4；

当x≥3时，x+1＞0，x+3≥0，所以|x﹣3|+|x+1|=（x﹣3）+（x+1）=2x+2≥4；

综上所述，所以|x﹣1|+|x+3|的最小值是4．

点睛：本题考查了数轴与绝对值的概念，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键．解题时注意：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．