Question

如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=﹣x²+bx+c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为m．

（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；

（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？

（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？

Answer

（1）拱顶D到地面OA的距离为10m；（2）这辆货车能安全通过；（3）两排灯的水平距离最小是4m．

【解析】试题分析：（1）先确定B点和C点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，再利用配方法确定顶点D的坐标，从而得到点D到地面OA的距离；

（2）由于抛物线的对称轴为直线x=6，而隧道内设双向行车道，车宽为4m，则货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），然后计算自变量为2或10的函数值，再把函数值与6进行大小比较即可判断；

（3）抛物线开口向下，函数值越大，对称点之间的距离越小，于是计算函数值为8所对应的自变量的值即可得到两排灯的水平距离最小值．

【解析】
（1）根据题意得B（0，4），C（3，），

把B（0，4），C（3，）代入y=﹣x2+bx+c得，

解得．

所以抛物线解析式为y=﹣x2+2x+4，

则y=﹣（x﹣6）2+10，

所以D（6，10），

所以拱顶D到地面OA的距离为10m；

（2）由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），

当x=2或x=10时，y=＞6，

所以这辆货车能安全通过；

（3）令y=8，则﹣（x﹣6）2+10=8，解得x1=6+2，x2=6﹣2，

则x1﹣x2=4，

所以两排灯的水平距离最小是4m．

考点：二次函数的应用．