Question

如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B

（1）求证：△ADF∽△DEC；

（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）6

【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质得出∠ADF=∠DEC，利用等角的补交相等得出∠AFD=∠C，所以△ADF∽△DEC；（2）根据相似三角形的性质得出DE的长，利用勾股定理得出AE的长.

试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四变形，

∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．∵∠AFD+∠AFE=180°，

∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C．在△ADF与△DEC中，

∴△ADF∽△DEC．

(2)由（1）知△ADF∽△DEC，则：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD=AB=8．∴DE=12,在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=．

点睛：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质和勾股定理三个知识点．题目难度不大，注意仔细分析题意，认真计算，避免出错．