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如图,以为直径的⊙O交△CFB的边于点A, 平分∠ABC交AC于点M,AD⊥BC...

如图,以为直径的⊙OCFB的边于点A 平分∠ABCAC于点MADBC于点DADBM于点NMEBC于点EAB2=AF·AC

(1)证明:ABM≌△EBM

(2)证明:FB是⊙O的切线;

(3)若cosABD=AD=12.求四边形AMEN的面积S

 

(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)四边形AMEN的面积S为45. 【解析】(1)证明:∵BC是⊙O的直径,∴∠BAC=90°. 又∵EM⊥BC,BM平分∠ABC,∴AM=ME,∠AMN=∠EMN. 又∵MN=MN,∴△ANM≌△ENM. (2)证明:∵AB2=AF•AC,∴. 又∵∠BAC=∠FAB=90°,∴△ABF∽△ACB,∴∠ABF=∠C. 又∵∠FBC=∠ABC+∠FBA=90°,∴FB是⊙O的切线. (3)【解析】 由(1)得AN=EN,AM=EM,∠AMN=∠EMN,又∵AN∥ME,∴∠ANM=∠EMN,∴∠AMN=∠ANM,∴AN=AM,∴AM=ME=EN=AN,∴四边形AMEN是菱形. ∵cos∠ABD=,∠ADB=90°,∴. 设BD=3x,则AB=5x,由勾股定理AD==4x; ∵AD=12,∴x=3,∴BD=9,AB=15. ∵MB平分∠AME,∴BE=AB=15,∴DE=BE﹣BD=6. ∵ND∥ME,∴∠BND=∠BME. 又∵∠NBD=∠MBE,∴△BND∽△BME,∴. 设ME=x,则ND=12﹣x,,解得x=,∴S=ME•DE=×6=45. 点睛:本题利用了角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、切线的判定,还有勾股定理以及菱形面积公式等知识.  
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考点分析:
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