如图，以为直径的⊙O交△CFB的边于点A，平分∠ABC交AC于点M，AD⊥BC...

如图，以为直径的⊙O交△CFB的边于点A，平分∠ABC交AC于点M，AD⊥BC于点D，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E，AB2=AF·AC。

（1）证明：△ABM≌△EBM；

（2）证明：FB是⊙O的切线；

（3）若cos∠ABD=，AD=12．求四边形AMEN的面积S。

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）四边形AMEN的面积S为45. 【解析】（1）证明：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°．又∵EM⊥BC，BM平分∠ABC，∴AM=ME，∠AMN=∠EMN．又∵MN=MN，∴△ANM≌△ENM．（2）证明：∵AB2=AF•AC，∴．又∵∠BAC=∠FAB=90°，∴△ABF∽△ACB，∴∠ABF=∠C．又∵∠FBC=∠ABC+∠FBA=90°，∴FB是⊙O的切线．（3）【解析】由（1）得AN=EN，AM=EM，∠AMN=∠EMN，又∵AN∥ME，∴∠ANM=∠EMN，∴∠AMN=∠ANM，∴AN=AM，∴AM=ME=EN=AN，∴四边形AMEN是菱形． ∵cos∠ABD=，∠ADB=90°，∴．设BD=3x，则AB=5x，由勾股定理AD==4x； ∵AD=12，∴x=3，∴BD=9，AB=15． ∵MB平分∠AME，∴BE=AB=15，∴DE=BE﹣BD=6． ∵ND∥ME，∴∠BND=∠BME．又∵∠NBD=∠MBE，∴△BND∽△BME，∴．设ME=x，则ND=12﹣x，，解得x=，∴S=ME•DE=×6=45．点睛：本题利用了角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、切线的判定，还有勾股定理以及菱形面积公式等知识．

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考点分析：

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