Question

如图，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，AB=4，点A的坐标为（-1,0），点C在y轴的正半轴。若抛物线y=ax²+bx+c (a≠0)的图像经过点A,B,C，则抛物线的表达式为__________；若以动直线l:y=-x+m为对称轴，线段BC关于直线l的对称线段B´C´与二次函数图像有交点，则m的取值范围是__________.

Answer

y= (x+1)(x-3) ≤m≤或≤m≤

【解析】（1）先求出OB=3，吧（3，0），再证明Rt△OCB∽△RtOAC，则可利用相似比计算出OC=，得到（0， ），然后利用待定系数法，运用交点式求出抛物线解析式.

【解析】
（1）∵AB=4，点Bd的坐标为（-1，0），

∴OB=3，B（3，0），

∵∠BCO+∠CBO=90°，∠CBA+∠CAO=90°，

∴∠BCO=∠CAO，

∴Rt△OCB∽Rt△OAC，

∴OC：OA=OB：OC，即OC：3+1：OC，

∴OC=，

∴C（0， ），

设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），

把C（0， ）代入得-3a=,解得a=-，

所以抛物线解析式为：y=-（x+1）（x-3），即y=-x2+x+.

(2). 当线段BC关于直线l的对称线段B´C´与二次函数图像有交点时，m的取值范围是≤m≤或≤m≤

“点精”本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质，会利用待定系数法求抛物线解析式；灵活运用系数三角形的判定与性质；利用两点间线段最短路径问题；能应用分类讨论的思想解决数学问题.