Question

如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，P为△ABC内一个动点，∠PAB＝∠PBC，则CP的最小值为_________．

Answer

－1

【解析】 ∵∠CBP=∠PAB

∴∠APB=135°

作△ABP的外接圆⊙O,连接CO交 ⊙O点P′.

∵∠APB=135°

∴∠AOB=360°-2×135°=90°

∵AC=BC=1

∴AB=

∴OA=OB=1

∴OP′=1

∵AC=BC=AO=BO

∴四边形AOBC为正方形

∴OC=

∴CP′=-1.

点睛：最值是在变化过程中形成的极端或特殊情形，在变化中存在的不变的东西，则是研究这一变化过程的核心条件或重要提示，线段AB为定值，当动点P在运动的过程中，∠APB的大小不变时，点P所在的路径也是圆（或弧），这道题是一道关于“远近交点”问题，其本质是三角形三边关系的应用，是两点之间线段最短的推广.