Question

在△ABC中，D为BC边上一点．

（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿着AD折叠，点C落在AB边上．请用直尺和圆规作出点D（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）如图②，将△ABC沿着过点D的直线折叠，点C落在AB边上的E处．

①若DE⊥AB，垂足为E，请用直尺和圆规作出点D（不写作法，保留作图痕迹）；

②若AB＝4，BC＝6，∠B＝45°，则CD的取值范围是        ．

Answer

（1）作图见解析；

（2）①作图见解析;② 6－6≤CD≤5

【解析】试题分析：(1) 以点A为圆心，以任意长为半径画圆，交AC,AB于两点，再以这两点为圆心,大于这两点所连线段的一半为半径画弧,两弧交于一点,过点A和这一点作射线交BC于点D；

(2) ①过点C作BC的垂线和BA的延长线交于一点,作这个角的平分线和BC的交点即为点D; ②当DE⊥AB时,此时FD平分∠BFC,CD有最小值,设CD=x,在三角形BDE中,根据勾股定理可求得x=6－6;当点C的对称点E与点F重合时,CD有最大值,此时CD=ED, 设CD=x,过点D向AB作垂线DH,在Rt△ADH中,根据勾股定理即可求出x=5,因此6－6≤CD≤5．

试题解析：

（1）

（2）①

②6－6≤CD≤5．

点睛:立足翻折不变量,考查翻折新形成,通过作图可以发现这是一道关于翻折的题,首先观察翻折前后的不变量,对应图形全等、折痕所在直线垂直平分线对应点的连线;其次研究翻折之后的新生成,翻折后出现的特殊线段、特殊三角形、四边形等;最后利用常见的模型解决问题,如全等三角形、利用勾股定理列方程、解直角三角形等.