Question

如图,在△ABC中,AB=AC=10,点D是边BC上一动点(不与B,C重合),∠ADE=∠B=α,DE交AC于点E,且cosα= .下列结论:

①△ADE∽△ACD;      ②当BD=6时,△ABD与△DCE全等;

③△DCE为直角三角形时,BD为8;  ④0<CE≤6.4.

其中正确的结论是____________.(把你认为正确结论的序号都填上)

Answer

①②④

【解析】试题解析：作AH⊥BC于H，如图，

∵AB=AC，
∴∠B=∠C=α，BH=CH，
而∠ADE=∠B=α，
∴∠ADE=∠C，
而∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，所以①正确；
在Rt△ABH中，cosB=，
∴BH=10× =8，
∴BC=2BH=16，
当BD=6，则CD=10，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，
而∠ADE=∠B=α，
∴∠EDC=∠BAD，
在△ABD与△DCE中
，
∴△ABD≌△DCE，所以②正确；
∵∠B=∠C，∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
△DCE为直角三角形，当∠DEC=90°，则∠ADB=90°，BD为8；

当∠EDC=90°，则∠BAD=90°，BD=，所以③错误；
设BD=x，则CD=16-x，
由△ABD∽△DCE得 ，即，
∴CE=- ，
∴CE的最大值为6.4，
∴0＜CE≤6.4，所以④正确．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合．