Question

如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，AE是∠BAC的平分线交BC于点E，以AC上一点O 为圆心作圆，使 ⊙O经过A，E两点，⊙O交AC于点F，

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若AB＝3，∠BAC＝60°,试求图中阴影部分的面积.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】试题分析：（1）连接OE，根据平行线判定推出OE∥AC，推出OE⊥BC，根据切线的判定推出即可；
（2）求出AE，OE，CE，利用S阴影=SΔOEC-S扇形EOF求出即可．

试题解析：（1）如图，连接OE，

∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∴∠OEA=∠CAE，
∴OE∥AC，
∵∠C=90°，
∴∠OEC=90°，
∴OE⊥BC，
∵OE为半径，
∴BC是⊙O切线；

(2)根据题意得：∠BAE=30°.

∴cos30°=，即：AE=

过点O作OH⊥AE,垂足为F，可求得OE=2，∠COE=60°

∴

∴CE=OEtan60°=

∴S阴影=SΔOEC-S扇形EOF=