Question

如图，直线y＝－x+4与x轴交于点A，与y交于点C，已知二次函数的图象经过点A，C和点B（－1，0），

（1）求该二次函数的关系式；

（2）设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积；

（3）有两个动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当点D、E两点相遇时，它们都停止运动，设D，E同时从点O出发t秒时，△ODE的面积为S，

①请问D，E两点在运动过程中，是否存在DE∥OC，若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由；

②直接写出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

③在②中，当t是多少时，S有最大值，并求出这个最大值.

Answer

（1）；（2）10（3）①不存在DE∥OC②当0＜t≤1时，S＝3t2；当1＜t≤2时，S＝；当2＜t≤时，S＝－；③当t＝时，S有最大值，最大值为 .

【解析】试题分析：（1）先根据直线AC的解析式求出A、C两点的坐标，然后根据A、B、C三点的坐标用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）根据抛物线的解析式可求出M点的坐标，由于四边形OAMC不是规则的四边形，因此可过M作x轴的垂线，将四边形OAMC分成一个直角三角形和一个直角梯形来求解．
（3）①如果DE∥OC，此时点D，E应分别在线段OA，CA上，先求出这个区间t的取值范围，然后根据平行线分线段成比例定理，求出此时t的值，然后看t的值是否符合此种情况下t的取值范围．如果符合则这个t的值就是所求的值，如果不符合，那么就说明不存在这样的t．
②本题要分三种情况进行讨论：
当E在OC上，D在OA上，即当0＜t≤1时，此时S=OE•OD，由此可得出关于S，t的函数关系式；
当E在AC上，D在OA上，即当1＜t≤2时，此时S=OD×E点的纵坐标．由此可得出关于S，t的函数关系式；
当E，D都在CA上时，即当2＜t＜相遇时用的时间，此时S=S△AOE-S△AOD，由此可得出S，t的函数关系式；
综上所述，可得出不同的t的取值范围内，函数的不同表达式．
③根据②的函数即可得出S的最大值．

试题解析：（1）对于一次函数y＝－x+4，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝3，

∴A（3，0），C（0，4），

设二次函数关系式为y＝ax2+bx+c，

把A（3，0），C（0，4），B（－1，0）代入得：

，解得： ，

∴二次函数的关系式为；

（2）由得：

∴抛物线的顶点M的坐标为（1， ），

过点M作MN⊥x轴于点N，则ON＝1，MN＝，

∵A（3，0），C（0，4），

∴OC＝4，AN＝3－1＝2，

答：四边形AOCN的面积为10

（3）①不存在DE∥OC，

假设DE∥OC，则D在OA上，E在AC上，且1＜t＜2，

此时，OD＝，AD＝3－，CE＝4t－4，AE＝9－4t，

∵DE∥OC，∴ ，即，

解得：t＝

∵t＝＞2，∴不存在DE∥OC，

②当0＜t≤1时，S＝3t2；

当1＜t≤2时，S＝；

当2＜t≤时，S＝－；

③由S＝，得：S＝，

∵＜0，

∴当t＝时，S有最大值，最大值为 .