Question

在正方形网格中以点A为圆心，AB为半径作圆A交网格于点C（如图（1）），过点C作圆的切线交网格于点D，以点A为圆心，AD为半径作圆交网格于点E（如图（2））．

问题：

（1）求∠ABC的度数；

（2）求证：△AEB≌△ADC；

（3）△AEB可以看作是由△ADC经过怎样的变换得到的？并判断△AED的形状（不用说明理由）．

（4）如图（3），已知直线a，b，c，且a∥b，b∥c，在图中用直尺、三角板、圆规画等边三角形A′B′C′使三个顶点A′，B′，C′，分别在直线a，b，c上．要求写出简要的画图过程，不需要说明理由．

Answer

（1）∠ABC=60°；

（2）证明见解析；

（3）△AEB可以看作是由△ADC绕点A顺时针旋转60°得到的，△AED是等边三角形；

（4）作图及画图过程见解析.

【解析】试题分析：

（1）连接BC，通过证明△ABC是等边三角形，即可求出∠ABC的度数；
（2）在Rt△AEB与Rt△ADC中，通过HL证明△AEB≌△ADC；
（3）由旋转的性质即可得出△AED是等边三角形；
（4）利用HL定理可证△A′N′C′≌△A′M′B′，得∠C′A′N′=∠B′A′M′，于是∠B′A′C′=∠M′A′N′=60°，由A′B′=A′C′得△A′B′C′为等边三角形．

试题解析：

（1）连接BC，如图所示：

由网格可知点C在AB的中垂线上，
∴AC=BC，
∵AB=AC，∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形．
∴∠ABC=60°；

（2）如图所示：

∵CD切⊙A于点C，
∴∠ACD=90°∠ABE=∠ACD=90°，
在Rt△AEB与Rt△ADC中，
∵AB=AC，AE=AD．
∴Rt△AEB≌Rt△ADC（HL）；
（3）△AEB可以看作是由△ADC绕点A顺时针旋转60°得到的．△AED是等边三角形；
（4）①在直线a上任取一点，记为点A′，作A′M′⊥b，垂足为点M′；②作线段A′M′的垂直平分线，此直线记为直线d；③以点A′为圆心，A′M′长为半径画圆，与直线d交于点N′；④过点N′作N′C′⊥A′N′交直线c于点C′，连接A′C′；⑤以点A′为圆心，A′C′长为半径画圆，此圆交直线b于点B′；⑥连接A′B′、B′C′，则△A′B′C′为所求等边三角形．

【点睛】本题综合性较强，考查了等边三角形的判定，全等三角形的判定，旋转的性质和作图-复杂作图，第（4）题有一定的难度．