Question

阅读下面的情境对话，然后解答问题

（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？

（2）在RtABC 中， ∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若RtABC是奇异三角形，求a：b：c；

（3）如图，AB是⊙O的直径，C是上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，CD在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E使得AE＝AD，CB＝CE．

求证：ACE是奇异三角形；

当ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．

Answer

【解析】
（1）真命题

（2）在RtABC 中a2＋b2＝ c2，

∵c＞b＞a＞0

∴2c2＞a2＋b2，2a2＜c2＋b2

∴若RtABC是奇异三角形，一定有2b2＝c2＋ a2

∴2b2＝a2＋（a2＋b2）

∴b2＝2a2 得：b＝a

∵c2＝b2＋ a2＝3a2

∴c＝

∴a：b： c＝

(3)∵AB是⊙O的直径ACBADB＝90°

在RtABC 中，AC2＋BC2＝AB2

在RtADB 中，AD2＋BD2＝AB2

∵点D是半圆的中点

∴＝

∴AD＝BD

∴AB2＝AD2＋BD2＝2AD2

∴AC2＋CB2＝2AD2

又∵CB＝CE，AE＝AD

∴AC2＝CE2＝2AE2

∴ACE是奇异三角形

由可得ACE是奇异三角形

∴AC2＝CE2＝2AE2

当ACE是直角三角形时

【解析】（1）根据“奇异三角形”的定义与等边三角形的性质，求证即可；

（2）根据勾股定理与奇异三角形的性质，可得a2+b2=c2与a2+c2=2b2，用a表示出b与c，即可求得答案；

（3）①AB是⊙O的直径，即可求得∠ACB=∠ADB=90°，然后利用勾股定理与圆的性质即可证得；

②利用（2）中的结论，分别从AC：AE：CE＝去分析，即可求得结果．