Question

如图1，直线交x轴于点C，交y轴于点D，与反比例函数的图像交于两点A、E，AG⊥x轴，垂足为点G，S_△AOG＝3．

（1）k ＝        ；

（2）求证：AD ＝CE；

（3）如图2，若点E为平行四边形OABC的对角线AC的中点，求平行四边形OABC的面积

Answer

（1）k=6；

（2）证明见解析；

（3）S平行四边形OABC＝18

【解析】（1）设A（m，n），由题意 •OG•AG=3，推出mn=6，由点A在y=上，推出k=mn=6．

（2）如图1中，作AN⊥OD于N，EM⊥OC于M．设直线CD的解析式为y=k′x+b，A（x1，y1），E（x2，y2）．首先证明EM=﹣k′AN，EM=﹣k′MC，推出AN=CM，再证明△DAN≌△ECM，即可解决问题．

（3）如图2中，连接GD，GE．由EA=EC，AD=EC，推出AD=AE=EC，推出S△ADG=S△AGE=S△GEC=3，求出△AOC的面积即可解决问题．

试题解析：

（1）【解析】
设A（m，n），

∵•OG•AG=3，

∴•m•n=3，

∴mn=6，

∵点A在y=上，

∴k=mn=6．

（2）证明：如图1中，作AN⊥OD于N，EM⊥OC于M．设直线CD的解析式为y=k′x+b，A（x1，y1），E（x2，y2）．

则有y1=k′x1+b，y2=k′x2+b，

∴y2﹣y1=k′（x2﹣x1），

∴﹣=k′（x2﹣x1），

∴﹣k′x1x2=6，

∴﹣k′x1=，

∴y2=﹣k′x1，

∴EM=﹣k′AN，

∵D（0，b），C（﹣，0），

∴tan∠DCO==﹣k′=，

∴EM=﹣k′MC，

∴AN=CM，

∵AN∥CM，

∴∠DAN=∠ECM，

在△DAN和△ECM中，

，

∴△DAN≌△ECM，

∴AD=EC．

（3）【解析】
如图2中，连接GD，GE．

∵EA=EC，AD=EC，

∴AD=AE=EC，

∴S△ADG=S△AGE=S△GEC=3，

∵S△AOG=S△ADG=3，

∴S△AOC=3+3+3=9，

∴平行四边形ABCD的面积=2•S△AOC=18．

【点睛】本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、全等三角形的判定和性质、三角形的面积、平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，本题的突破点是证明AN=CM，题目比较难。