Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－1,0），点B的坐标为（4，0），经过点A点B抛物线y＝x²＋bx＋c与y轴交于点C.

（1）求抛物线的关系式.

（2）△ABC的外接圆与y轴交于点D，在抛物线上是否存在点M使S_△MBC＝S_△DBC,若存在，请求出点M的坐标.

（3）点P是直线y＝－x上一个动点，连接PB,PC,当PB＋PC＋PO最小时，求点P的坐标及其最小值.

Answer

（1）抛物线关系式：y＝x²－3x－4；（2）点M（5,6）（3）P（2－， －2）

【解析】试题分析：（1）用代入法直接求函数解析式；（2）存在，连接AD，过点D做直线l∥BC，则求出直线l的关系式为：y＝x＋1，再求它与的交点坐标，即可；（3）把△BPO绕点B顺时针旋转60°得△BFE，连接FP得等边△BFP， 则PB＋PC＋PO＝PC＋PF＋FE，所以连接EC与直线y＝－x交于点P，则点P即为所求. 先求出直线EC关系式为:y＝(＋2)x－4，再联立y＝－x得出P的坐标即可；

试题解析：

(1)把点A（－1,0），点B（4，0）代入y＝x²＋bx＋c得：

解得：

∴0抛物线关系式：y＝x²－3x－4

(2)连接AD，

把x＝0代入y＝x²＋bx＋c得y＝－4.

∴OC＝OB＝4.

∴∠ABC＝45°.

∴∠ADC＝45°

∵OA＝1，

∴OD＝1

过点D做直线l∥BC，则直线l的关系式为：y＝x＋1

联立抛物线关系式得：

解得

∴点M（5,6）

(3)把△BPO绕点B顺时针旋转60°得△BFE，

连接FP得等边△BFP，

∴PB＋PC＋PO＝PC＋PF＋FE

∴连接EC与直线y＝－x交于点P，则点P即为所求.

在等边△OBE中

∵OB＝4

∴点E(2, )

又∵点C(0,－4)

∴直线EC关系式为:y＝(＋2)x－4

联立y＝－x得

点P（2－， －2）