Question

如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45．

(1)试判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

(2)若⊙O的半径为3，sin∠ADE=，求AE的值．

Answer

（1）CD与圆O相切，证明见解析；（2）AE=5 ．

【解析】（1）连接OD，则∠AOD=为直角，由四边形ABCD是平行四边形，则AB∥CD，从而得出∠CDO=90°，即可证出答案.

（2）连接BE，则∠ADE=∠ABE，根据题意得sin∠ABE=. 由AB是圆O的直径求出AB的长.再在Rt△ABE中，求得AE即可.

【解析】
（1）CD与圆O相切． 证明：连接OD，则∠AOD=2∠AED =2×450=900．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//DC．∴∠CDO=∠AOD=90°．∴OD⊥CD． ∴CD与圆O相切

（2）连接BE，则∠ADE=∠ABE． ∴sin∠ADE=sin∠ABE=．

∵AB是圆O的直径，∴∠AEB=900，AB=2×3=6．

在Rt△ABE中，sin∠ABE=．∴AE=5 ．

“点睛”此题考查了切线的判定、圆周角定理、垂线定理、平行四边形的性质以及三角函数等知识.此题综合性较强，难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与转化思想的应用.