Question

如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点。

（1）求这两个函数的表达式；

（2）如图1，若，且其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点、点。求四边形的面积；

（3）如图2，点是反比例函数图象上的一点，过点作x轴、轴的垂线，垂足分别为、，交直线于点，过作x轴的垂线，垂足为。设点的横坐标为，当时，是否存在点，使得四边形为正方形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由。

Answer

（1）这两个函数的表达式分别为：y=x，；（2）四边形的面积为6；（3）P点坐标为（，）

【解析】试题分析：（1）将点M（，）分别带入与求得a、k的值，即可得这两个函数的表达式；（2）过点M分别做x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D，易证△AMC≌△BMD，S四边形OCMD=S四边形OAMB即可求解；（3）设P点坐标为（），则PE=HG=GE=，OE=2x，再由∠MOE=45°，可得OG=GH=， 即可得OE= OG+GH=，根据正方形的性质可得2x=，解得x的值，即可求得点P的坐标.

试题解析：

（1）将点M（，）分别带入与得：

=a，

解得：a=1，k=6

∴这两个函数的表达式分别为：y=x，

（2）过点M分别做x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D.

则∠MCA=∠MDB=90°，∠AMC=∠BMD=90°-∠AMD，MC=MD=，

∴△AMC≌△BMD，

∴S四边形OCMD=S四边形OAMB=6；

（3）设P点坐标为（），则PE=HG=GE=，OE=2x，

∵∠MOE=45°，∴OG=GH=， ∴OE= OG+GH=

∴2x=

∴P点坐标为（，）.