Question

如图，在中，已知，，点是线段上的动点（不与端点重合），点是线段上的动点，连接、，若在点、点的运动过程中，始终保证。

（1）求证：；

（2）当以点为圆心，以为半径的圆与相切时，求的长；

（3）探究：在点、点的运动过程中，可能为等腰三角形吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由。

Answer

（1）证明见解析；（2）BE的长为1或5；（3）当BE的长为1或时，△CFE为等腰三角形.

【解析】试题分析（1）由∠B +∠B CE=∠CEA=∠CEF+∠FEA，∠CEF=∠B即可得∠AEF=∠BCE；（2）设⊙C与BA切于点M，则CM=CF，CM⊥BA（如图），根据等腰三角形的性质可得BM=AM==3，在Rt△AMC中，根据勾股定理可得CF =CM=4，即可得AF=1，再证得△AEF∽△BCE，设设BE长为x，则EA长为6-x，根据相似三角形的性质列出方程求解即可；（3）分CE=CF，CF=EF，CF=EF三种情况求解即可.

试题解析：

（1）证明：∵∠B +∠B CE=∠CEA =∠CEF+∠FEA

∠CEF=∠B

∴∠AEF=∠BCE

（2）设⊙C与BA切于点M，则CM=CF，CM⊥BA

∵CA=CB，CM⊥BA ∴BM=AM==3

Rt△AMC中，AC=5，AM=3，

∴CF =CM=4 ∴AF=1

∵ CA=CB ∴∠B=∠C

由（1）知∠AEF=∠BCE

∴△AEF∽△BCE

∴

设BE长为x，则EA长为6-x

∴

解得：x1=1，x2=5

答：BE的长为1或5.

（3）可能.

①当CE=CF时，∠3=∠2=∠A

∴EF∥AB，此时E与B重合，与条件矛盾，不成立.

②当CF=EF时，

又∵△AEF∽△BCE

∴△AEF≌△BCE

∴AE=BC=5

∴BE=AB-5=1

③当CF=EF时，∠1=∠2=∠A=∠B

△FCE∽△CBA

∴

∴

∵△AEF∽△BCE

∴

∴

∴

答：当BE的长为1或时，△CFE为等腰三角形.