Question

如图1，抛物线与x轴交于点、点（点在点左侧），与轴交于点，点为顶点，已知点、点的坐标分别为、。

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线上方的抛物线上找一点，使的面积最大，求点坐标；

（3）如图2，连结、，抛物线的对称轴与x轴交于点。过抛物线上一点作，交直线于点，求当时点的坐标。

Answer

（1）抛物线的表达式为：；

（2）当时，S△BCD取最大值，此时P（，）；

（3）点M坐标为（，）或（）.

【解析】试题分析：（1）把点A（-1，0）和点B（3，0）的坐标代入所给抛物线可得a、b的值，进而得到该抛物线的解析式；(2) ）由题意设P（），过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，再求得直线CB解析式，可得点Q的坐标，再求得PQ的长，利用S△BCD=得出以S、x为变量的二次函数模型，利用二次函数的性质求得x的值，即可得点P的坐标.（3）先求得点C，点E和顶点的坐标，再分当点M在对称轴右侧时和当点M在对称轴左侧时两种情况求解即可.

试题解析：

【解析】
（1）将A（-1，0）、B（3，0）两点代入得：

解得：

∴抛物线的表达式为：

（2）由题意设P（），过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，

直线CB解析式：， 则Q（）

∴PQ=

S△BCD=

∵，∴当时，S△BCD取最大值，

此时P（）

（3）∵抛物线y=﹣（x﹣3）（x+1）=﹣x2+2x+3与与y轴交于点C，

∴C点坐标为（0，3），顶点（1,4），E（1,0）

∴tan∠BDE=

（Ⅰ）当点M在对称轴右侧时．

i）若点N在射线CD上，

如图，过点N作y轴的垂线，垂足为G，过点M作GN的垂线，垂足为H，

则△CNG，△MNH均为等腰直角三角形，

∵∠CMN=∠BDE，∴tan∠CMN = tan∠BDE

∴△CNG，△MNH相似比为1:2

设CG=a，则NG=a，NH=NH=2a，

∴M（3a,3+a-2a），即M（3a,3-a），

代入得：

解得：

此时M（）

ii）若点N在射线DC上，

如图，过点N作x轴的垂线l，分别过点M、C作GN的垂线，垂足为H、G，

则△CNG，△MNH均为等腰直角三角形，

∵∠CMN=∠BDE，∴tan∠CMN = tan∠BDE

∴△CNG，△MNH相似比为1:2

设CG=a，则NG=a，NH=NH=2a，

∴M（a,3-a-2a），即M（a,3-3a），

代入得：

解得：

此时M（）

（Ⅱ）当点M在对称轴左侧时．

∵∠CMN=∠BDE＜45°，

∴∠MCN＞45°，

而抛物线左侧任意一点K，都有∠KCN＜45°，

∴点M不存在．

综上可知，点M坐标为（ ， ）或（）．

点睛：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，，等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度．第（3）问进行分类讨论及运用数形结合的思想是解题的关键．