Question

已知，如图，在中，AC=BC，点D是边AB的中点，E，F分别是AC和BC的中点，分别以CE，CF为一边向上作两个全等的矩形CEGH和矩形CFMN（其中EG=FM），依次连结DG、DM、GM。

（1）求证：是等腰三角形。

（2）如图，若将上图中的两个全等的矩形改为两个全等的正三角形（和)，其他条件不变。请探究的形状，并说明理由。

（3）若将上图中的两个全等的矩形改为两个正方形，并把中的边BC缩短到如图形状，请探究的形状，并说明理由。

Answer

（1）证明见解析 （2）△DGM是等边三角形． （3）△DGM是等腰直角三角形．

【解析】试题分析：（1）先根据SAS证明△FBM≌△MDH，得到DG＝DM，即是等腰三角形；（2）类似先证是等腰三角形，再求GM=GD，从而得出是等边三角形；（3）类似（1）（2）中方法，先得到是等腰三角形，再求∠GDM=∠GEC=900，从而得出是等腰直角三角形；

试题解析：

（1）证明：∵四边形CEGH和CFMN是全等的矩形，

∴CE = CF，EG=FM，∠GEC =∠MFC = 90°．

连接DE、DF，如图．

∵D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，

DE∥BC，且DE=CE =BC；

DF∥AC，且DF = CE = AC．

∴四边形DECF是平行四边形．

∴ ∠DEC =∠DFC．

又∵∠GEC =∠MFC，

∴∠DEG=∠DFM．

∵AC=BC，

∴DE=DF.

∴△FBM≌△MDH（SAS）．

∴DG=DM．

∴△DGM是等腰三角形．

（2）△DGM是等边三角形．

证明：∵和是全等的等边三角形，

∴CE=EG=CG=CF=FM=CM，∠GEC=∠MFC=60°．

连接DE、DF，如图．

∵D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，

∴DE∥BC，且DE =CE =BC；

DF∥AC，且DF=CE=AC．

∴四边形DECF是平行四边形．

∴ ∠DEC=∠DFC．

又∵∠GEC=∠MFC，

∴∠DEG=∠DFM．

∵AC=BC，

∴DE=DF.

∴△FBM ≌ △MDH（SAS）．

∴DG=DM．

∴△DGM是等腰三角形．

又∵∠GCM+∠ACB=3600-600-600=2400

∠GED+∠ACB=∠GEC+∠CED+∠ACB=600+1800=2400

∴∠GCM=∠GED

又DE=CF=CM，EG=CG

∴△GED≌△GCM（SAS）．

∴GM=GD

∴△DGM是等边三角形．

（3）△DGM是等腰直角三角形．

显然，由（1）（2）易得△GED≌ △DFM（SAS）

∴DG=DM，∠DGE=∠MDF

∵DF∥AC

∴∠CED+∠EDF=1800

即：∠CED+∠EDG+∠GDM+∠MDF=1800

又由三角形内角和可知∠CED+∠EDG+∠GEC+∠DGE=1800

∴∠GDM=∠GEC=900

∴△DGM是等腰直角三角形.