Question

如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE、BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD．有下列结论：①FD=FE；②AH=2CD；③BC•AD=AE²；④∠DFE=2∠DAC ;⑤若连接CH，则CH∥EF.其中正确的个数为（    ）

A. 2个    B. 3个    C. 4个    D. 5个

Answer

D

【解析】试题解析：∵在△ABC中，AD和BE是高，

∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，

∵点F是AB的中点，

∴FD=AB，

∵∠ABE=45°，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∴AE=BE，

∵点F是AB的中点，

∴FE=AB，

∴FD=FE，①正确；

∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°，

∴∠ABC=∠C，

∴AB=AC，

∵AD⊥BC，

∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，

在△AEH和△BEC中，

，

∴△AEH≌△BEC（ASA），

∴AH=BC=2CD，②正确；

∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，

∴△ABD～△BCE，

∴，即BC•AD=AB•BE，

∵AE2=AB•AE=AB•BE，

∴BC•AD=AE2；③正确；

∵F是AB的中点，BD=CD，

∴S△ABC=2S△ABD=4S△ADF．④正确；

故选D．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定与性质。本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键.