Question

如图，已知点A（5，0），B（0，5），把一个直角三角尺DEF放在△OAB内，使其斜边FD在线段AB上，三角尺可沿着线段AB上下滑动．其中∠EFD=45°，ED=2，点G为边FD的中点．

（1）求直线AB的解析式；

（2）如图1，当点D与点A重合时，求经过点G的反比例函数y=（k≠0）的解析式；

（3）在三角尺滑动的过程中，经过点G的反比例函数的图象能否同时经过点F？如果能，求出此时反比例函数的解析式；如果不能，说明理由．

Answer

（1）y=﹣x+5；（2）y=；（3）

【解析】试题分析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，把A、B两个点的坐标代入即可；（2）根据等腰直角三角形的性质，得出点F的坐标，近而求出中点G的坐标，求出反比例函数的解析式即可；（3）点F在直线AB上，设F（t，﹣t+5），D、G点坐标，假设存在同时经过点D、G的反比例函数，解出t的值，求出反比例函数解析式，即可.

试题解析：

（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，

∵A（5，0），B（0，5），

∴，

解得： ，

∴直线AB的解析式为：y=﹣x+5；

（2）∵在Rt△DEF中，∠EFD=45°，ED=2，

∴EF=2，DF=2 ，

∵点D与点A重合，

∴D（5，0），

∴F（3，2），

∴G（4，1），

∵反比例函数y=经过点G，

∴k=4，

∴反比例函数的解析式为：y=；

（3）经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F；理由如下：

∵点F在直线AB上，

∴设F（t，﹣t+5），

又∵ED=2，

∴D（t+2，﹣t+3），

∵点G为边FD的中点．

∴G（t+1，﹣t+4），

若过点G的反比例函数的图象也经过点F，

则，t(-t+5)=(t+1)(-t+4)

解得：t=2，则F（2,3）

设解析式为y=，

∴m=6，

∴经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F，这个反比例函数解析式为：

点睛：本题是反比例函数综合题目，考查了用待定系数法求一次函数的解析式、求反比例函数的解析式、坐标与图形特征、解直角三角形、解方程组等知识；本题难度较大，综合性强，用待定系数法确定一次函数和反比例函数的解析式是解决问题的关键．