Question

如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝ 90°，AB＝AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．

（1）当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长DB交CF于点H.

①求证：BD⊥CF；

②当AB＝2，AD＝3时，求线段DH的长．

Answer

（1）BD＝CF成立，理由详见解析；（2）①详见解析；②.

【解析】

试题分析：（1）先用“SAS”证明△CAF≌△BAD,再用全等三角形的性质即可得BD＝CF成立；（2）利用△HFN与△AND的内角和以及它们的等角，得到∠NHF＝90°,即可得①的结论；（3）连接DF，延长AB，与DF交于点M，利用△BMD∽△FHD求解.

试题解析：（l）【解析】
BD＝CF成立．

证明：∵AC＝AB，∠CAF＝∠BAD＝θ;AF＝AD,△ABD≌△ACF,∴BD＝CF.

（2）①证明：由（1）得，△ABD≌△ACF，∴∠HFN＝∠ADN，

在△HFN与△ADN中，∵∠HFN＝∠AND，∠HNF＝∠AND,∴∠NHF＝∠NAD＝90°,

∴HD⊥HF,即BD⊥CF.

②【解析】
如图，连接DF，延长AB，与DF交于点M.

在△MAD中，∵∠MAD＝∠MDA＝45°，∴∠BMD＝90°.

在Rt△BMD与Rt△FHD中，∵∠MDB＝∠HDF,∴△BMD∽△FHD.

∴AB＝2，AD＝3，四边形ADEF是正方形，∴MA＝MD＝＝3.

∴MB＝3－2＝1,DB＝＝.

∵＝.∴＝.

∴DH＝.

考点：四边形综合题.