Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=与抛物线y=﹣x²+bx+c交于A、B两点，点A在x轴上，点B的横坐标为﹣8．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为C，交直线AB于点D，作PE⊥AB于点E．

①设△PDE的周长为m，点P的横坐标为x，当△PDE周长m最大时，求点P的坐标，并求出m的最大值；

②连接PA，以PA为边作图示一侧的正方形APFG（逆时针方向作正方形APFG）．随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．                                    

Answer

（1）（2）①当x=﹣3时，最大值为15②存在点P1（，2），P2（，2），P3（，）

【解析】试题分析：（1）利用直线解析式求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）①利用直线解析式和抛物线解析式表示出PD，再利用同角的余角相等求出∠DPE=∠BAO，根据直线k值求出∠BAO的正弦和余弦值，然后表示出PE、DE，再根据三角形的周长公式列式整理即可得解，再根据二次函数的最值问题解答；②分（i）点G在y轴上时，过点P作PH⊥x轴于H，根据正方形的性质可得AP=AG，∠PAG=90°，再求出∠PAH=∠AGO，然后利用“角角边”证明△APH和△GAO全等，根据全等三角形对应边相等可得PH=AO=2，然后利用二次函数解析式求解即可；（ii）点F在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，根据正方形的性质可得AP=FP，∠APF=90°，再根据同角的余角相等求出∠APM=∠FPN，然后利用“角边角”证明△APM和△FPN全等，根据全等三角形对应边相等可得PM=PN，从而得到点P的横坐标与纵坐标相等，再根据二次函数的解析式求解即可．

试题解析：

（1）令y=0，则x﹣=0，解得x=2，

x=﹣8时，y=×（﹣8）﹣=﹣，

∴点A（2，0），B（﹣8，﹣），

把点A、B代入抛物线得，，

解得，

所以，该抛物线的解析式；

（2）①∵点P在抛物线上，点D在直线上，

∴PD=﹣x2﹣x+﹣（x﹣）=﹣x2﹣x+4，

∵PE⊥AB，

∴∠DPE+∠PDE=90°，

又∵PD⊥x轴，

∴∠BAO+∠PDE=90°，

∴∠DPE=∠BAO，

∵直线解析式k=，

∴sin∠BAO=，cos∠BAO=，

∴PE=PDcos∠DPE=PD，

DE=PDsin∠DPE=PD，

∴△PDE的周长为m=PD+PD+PD=PD=（﹣x2﹣x+4）=﹣x2﹣x+，

即m=﹣x2﹣x+；

∵m=﹣（x2+6x+9）+15，

∴当x=﹣3时，最大值为15；

②∵点A（2，0），

∴AO=2，

分（i）点G在y轴上时，过点P作PH⊥x轴于H，

在正方形APFG中，AP=AG，∠PAG=90°，

∵∠PAH+∠OAG=90°，∠AGO+∠OAG=90°，

∴∠PAH=∠AGO，

在△APH和△GAO中，

，

∴△APH≌△GAO（AAS），

∴PH=AO=2，

∴点P的纵坐标为2，

∴﹣x2﹣x+=2，

整理得，x2+3x﹣2=0，

解得x=，

∴点P1（，2），P2（，2）；

（ii）点F在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，

在正方形APFG中，AP=FP，∠APF=90°，

∵∠APM+∠MPF=90°，∠FPN+∠MPF=90°，

∴∠APM=∠FPN，

在△APM和△FPN中，

，

∴△APM≌△FPN（AAS），

∴PM=PN，

∴点P的横坐标与纵坐标相等，

∴﹣x2﹣x+=x，

整理得，x2+7x﹣10=0，

解得x1=，x2=（舍去），

∴点P3（，）

综上所述，存在点P1（，2），P2（，2），P3（，）．

点睛：此题主要考查了二次函数的综合应用，全等三角形的判定与性质以及待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数的应用，（1）①利用锐角三角函数用PD表示出三角形是周长是解题的关键，②难点在于分情况讨论．