Question

阅读下列文字：

我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）=a²+3ab+2b²．请解答下列问题：

（1）写出图2中所表示的数学等式_____；

（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a²+b²+c²的值；

（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长分别为a、b的长方形纸片，

①请按要求利用所给的纸片拼出一个几何图形，并画在图3所给的方框中，要求所拼出的几何图形的面积为2a²+5ab+2b²，

②再利用另一种计算面积的方法，可将多项式2a²+5ab+2b²分解因式．即2a²+5ab+2b²=______．

Answer

（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；

（2）a2+b2+c2=45；

（3）①画图见解析；②2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）．

【解析】试题分析：（1）根据数据表示出矩形的长与宽，再根据矩形的面积公式写出等式的左边，再表示出每一小部分的矩形的面积，然后根据面积相等即可写出等式．（2）根据利用（1）中所得到的结论，将a+b+c=11，ab+bc+ac=38作为整式代入即可求出．（3）①找规律，根据公式画出图形，拼成一个长方形，使它满足所给的条件；②根据所给的规律分解因式即可．

试题解析：

（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；

故答案为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；

（2）a2+b2+c2=（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，

=112﹣2×38=45；

（3）

①如图所示，

②如上图所示的矩形面积=（2a+b）（a+2b），

它是由2个边长为a的正方形、5个边长分别为a、b的长方形、2个边长为b的小正方形组成，所以面积为2a2+5ab+2b2，则2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b），

故答案为：2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）．

点睛：本题考查了完全平方公式的几何背景和因式分解的应用，关键是能够把代数式转化成几何图形，用到的知识点是长方形和正方形的面积公式，要认真总结规律，进行答题．