Question

如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA＝3，AC＝，CD∥AB，并与弧AB相交于点M、N．

(1)求线段OD的长；

(2)若sin∠C＝，求弦MN的长；

(3)在(2)的条件下，求优弧MEN的长度．

Answer

（1）线段OD的长为；

（2）弦MN的长为3；

（3）优弧MEN的长度.

【解析】分析：（1）由OA＝OB得：OA＝OB，根据CD∥AB可知，∠OAB＝∠C, ∠D＝∠OBA，推出∠C＝∠D，最后求出OD的长；（2）过O作OF⊥CD，连接OM，由垂径定理可知MF=MN，再根据sin∠C=可求出OF的长，利用勾股定理即可求出ME的长，进而求出答案.（3）由OM=ON=MN得到△OMN是等边三角形，利用弧长公式求解.

本题解析：(1)∵OA＝OB ∴OA＝OB

∵CD∥AB ∴∠OAB＝∠C, ∠D＝∠OBA

∴∠C＝∠D ∴OD＝OC＝OA＋AC＝

(2)过O作OF⊥MN于点F，连结OM。

∵ ，OC＝ ∴OF＝∵OM＝3 根据勾股定理得MF＝

由垂径定理得MN＝3， (3)由(2)可得△OMN是等边三角形，∴∠MON＝60°

∴优弧MEN的长度＝

点睛：本题考查的是垂径定理，涉及到锐角三角函数定义、相似三角形的判定与性质及勾股定理，弧长公式，据题意作出辅助线是解答此题的关键.