Question

如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝，∠BAC＝105°，△ABD、△ACE、△BCF都是等边三角形，则四边形AEFD的面积为__________

Answer

2

【解析】∵△ABD，△ACE都是等边三角形，

∴∠DAB=∠EAC=60°，

∵∠BAC=105°

∴∠DAE=135°．

∵△ABD和△FBC都是等边三角形，

∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，

∴∠DBF=∠ABC．

∴在△ABC与△DBF中，

，

∴△ABC≌△DBF（SAS），

∴AC=DF=AE= ，

同理可证△ABC≌△EFC，

∴AB=EF=AD=2，

∴四边形DAEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．

∴∠FDA=180°-∠DAE=45°，

根据勾股定理可求得平行四边形DAEF边AD上的高为1，

∴平行四边形AEFD的面积是 ．

点睛：本题综合考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，综合性比较强，难度较大，有利于培养学生综合运用知识进行推理和计算的能力．