Question

有两个全等的含30°角的直角三角板重叠在一起，如图，将△A′B′C′绕AC的中点M转动，斜边A′B′刚好过△ABC的直角顶点C，且与△ABC的斜边AB交于点N，连接AA′、C′C、AC′．若AC的长为2，有以下五个结论：①AA′=1；②C′C⊥A′B′；③点N是边AB的中点；④四边形AA′CC′为矩形；⑤A′N=B′C=，其中正确的有（　　）

A. 2个    B. 3个    C. 4个    D. 5个

Answer

C

【解析】试题解析：①∵点M是线段AC、线段A′C′的中点，AC=2，

∴AM=MC=A′M=MC′=1，

∵∠MA′C=30°，

∴∠MCA′=∠MA′C=30°，

∴∠A′MC=180°-30°-30°=120°，

∴∠A′MA=180°-A′MC=180°-120°=60°，

∴∠AMA′=∠C′MC=60°，

∴△AA′M是等边三角形，

∴AA′=AM=1，故①正确；

②∵∠A′CM=30°，∠MCC′=60°，

∴∠ACA′=∠A′CM+∠MCC′=90°，

∴CC′⊥A′C，故②正确；

③∵∠A′CA=∠NAC=30°，∠BCN=∠CBN=60°，

∴AN=NC=NB，故③正确；

④∵△AA′M≌△C′CM，

∴AA′=CC′，∠MAA′=∠C′CM=60°，

∴AA′∥CC′，

∴四边形AA′CC′是平行四边形，

∵∠AA′C=∠AA′M+∠MA′C=90°，

四边形AA′CC′为矩形，故④正确；

⑤AN=AB=，

∠NAA′=30°，∠AA′N=90°，

∴A′N=AN=，故⑤错误.

故选C．

【点睛】本题考查了旋转的性质，利用了旋转的性质，矩形的判定，等边三角形的判定，直角三角形的性质，所用知识点较多，题目稍有难度．