Question

已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a，CF=b．

（1）如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；

（2）当△AEF是直角三角形时，求a、b的值．

Answer

（1）a=b=4；（2）当∠AFE=90°时，a=8，b=4，当∠AEF=90°时， a=4，b=8

【解析】试题分析：（1）当∠EAF被对角线AC平分时，易证△ACF≌△ACE，因此CF=CE，即a=b．

（2）分两种情况进行计算，①先用勾股定理得出CF2=8（CE+4）①，再用相似三角形得出4CF=CE（CE+4）②，两式联立解方程组即可

试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCF=∠DCE=90°

∵AC是正方形ABCD的对角线，

∴∠ACB=∠ACD=45°，

∴∠ACF=∠ACE，

∵∠EAF被对角线AC平分，

∴∠CAF=∠CAE，

在△ACF和△ACE中，

，

∴△ACF≌△ACE，

∴CF=CE，

∵CE=a，CF=b，

∴a=b，

∵△ACF≌△ACE，

∴∠AEF=∠AFE，

∵∠EAF=45°，

∴∠AEF=∠AFE=67.5°，

∵CE=CF，∠ECF=90°，∠AEC=∠AFC=22.5°，

∵∠CAF=∠CAE=22.5°，

∴∠CAE=∠CEA，

∴CE=AC=4，即：a=b=4；

（2）当△AEF是直角三角形时，

①当∠AFE=90°时，

∴∠AFD+∠CFE=90°，

∵∠CEF+∠CFE=90°，

∴∠AFD=∠CEF

∵∠AFE=90°，∠EAF=45°，

∴∠AEF=45°=∠EAF∴AF=EF，

在△ADF和△FCE中

∴△ADF≌△FCE，

∴FC=AD=4，CE=DF=CD+FC=8，

∴a=8，b=4