Question

已知□OABC的顶点A、C分别在直线x=2和x=4上， O为坐标原点，直线x=2分别与x轴和OC边交于D、E，直线x=4分别与x轴和AB边的交于点F、G．

（1）如图，在点A、C移动的过程中，若点B在x轴上，

①直线 AC是否会经过一个定点，若是，请直接写出定点的坐标；若否，请说明理由．

②□OABC是否可以形成矩形？如果可以，请求出矩形OABC的面积；若否，请说明理由．

③四边形AECG是否可以形成菱形？ 如果可以，请求出菱形AECG的面积；若否，请说明理由．

（2）在点A、C移动的过程中，若点B不在x轴上，且当□OABC为正方形时，直接写出点C的坐标．

Answer

（1）①是，定点（3，0），②可以，12，③可以，3；（2）（4，2）或（4，-2）

【解析】试题分析：（1）通过证明ΔOAD≌ΔCBF得BF=OD=2，从而求出OB的中点为（3，0），即直线AC过定点（3，0）；

（2）易证∠OCF=∠CBF，得∠OCB=90°，由OABC是平行四边形得OABC是矩形，再由ΔCBF∽ΔOCF可求出CF的长，从而可求出矩形的面积.

试题解析：（1）①根据题意得：∠ADO=∠CFB=90°， 
∵四边形ABCD是平行四边形， 
∴OA∥BC，OA=BC， 
∴∠AOD=∠CBF， 
在△AOD和△CBF中，

∴△AOD≌△CBE（AAS）， 
∴OD=BE=2

∴OB的中点坐标为（3，0）

∴直线 AC是经过一个定点（3，0）

②可以

易证∠OCF=∠CBF，得∠OCB=90°，由OABC是平行四边形得OABC是矩形，

在RtΔOCB中，CF2=BF×OF=2×4=8

∴CF=

∴SΔOCB=×6×=

∴S矩形OABC=

③可以，3

（2）（4，2）或（4，-2）