Question

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD垂足为M，EN⊥CD垂足为N．

（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；

（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？

Answer

（1）见解析（2）AD＝5或AD＝4．8

【解析】试题分析：（1）当AD＝CD时，要证明DE∥AC成立，只需要根据条件证明∠DAC=∠DCA=∠BDE=∠BDC即可；（2）分两种情况：①若△BME∽△CNE，②若△BME∽△ENC，分别讨论即可．

试题解析：（1）证明：∵AD="CD" ∴∠DAC=∠DCA

∴∠BDC=2∠DAC

又∵DE是∠BDC的平分线

∴∠DAC=∠BDE

∴DE∥AC

（2）【解析】
分两种情况：

①若△BME∽△CNE，必有∠MBE=∠NCE

此时BD=DC

∵DE平分∠BDC

∴DE⊥BC，BE=EC

又∠ACB＝90°

∴DE∥AC

∴即

∴AD=5

②若△BME∽△ENC，必有∠EBM=∠CEN

此时NE∥MC

∵CD⊥NE，∴CD⊥AB

∴

∴当AD＝5或AD＝4．8时，以B，M，E为顶点的三角形与以C，E，N为顶点的三角形相似……10分

考点：1．平行线的判定；2．勾股定理；3．相似三角形的判定与性质．