Question

如图，点P( x, y₁)与Q (x, y₂)分别是两个函数图象C₁与C₂上的任一点. 当a ≤ x ≤ b时，有-1 ≤ y₁ - y₂ ≤ 1成立，则称这两个函数在a ≤ x ≤ b上是“相邻函数”，否则称它们在a ≤ x ≤ b上是“非相邻函数”.

例如，点P(x, y₁)与Q (x, y₂)分别是两个函数y = 3x+1与y = 2x - 1图象上的任一点，当-3 ≤ x ≤ -1时，y₁ - y₂ = (3x + 1) - (2x - 1) = x + 2，通过构造函数y = x + 2并研究该函数在-3 ≤ x ≤ -1上的性质，得到该函数值的范围是-1 ≤ y ≤ 1，所以-1 ≤ y₁ - y₂ ≤ 1成立，因此这两个函数在-3 ≤ x ≤ -1上是“相邻函数”.

（1）判断函数y = 3x + 2与y = 2x + 1在－2 ≤ x≤ 0上是否为“相邻函数”，说明理由；

（2）若函数y = x² - x与y = x - a在0 ≤ x ≤ 2上是“相邻函数”，求a的取值范围；

（3）若函数y =与y =－2x + 4在1 ≤ x ≤ 2上是“相邻函数”，直接写出a的最大值与最小值.

Answer

（1）是“相邻函数”，理由见解析；（2）；（3）的最大值是2， 的最小值1.

【解析】试题分析：

（1）直接利用相邻函数的定义结合一次函数增减性，得出当x=0时，函数有最大值1，当x=-2时，函数有最小值-1，即-1≤y≤1，进而判断即可；

（2）直接利用相邻函数的定义结合二次函数增减性，得出当x=1时，函数有最小值a-1，当x=0或x=2时，函数有最大值a，即a-1≤y≤a，进而判断即可；

（3）直接利用相邻函数的定义结合函数增减性，得出当x=1时，函数有最小值a-2，当x=2时，函数有最大值，即a-2≤y≤，进而判断最值即可．

试题解析：（1）是“相邻函数”.

理由如下： ，构造函数.

∵在上随着x的增大而增大，

∴当x=0时，函数有最大值1，当x=-2时，函数有最小值-1，即

∴-1≤y₁-y₂≤1.

即函数在是“相邻函数”.

（2）

构造函数

∵

∴顶点坐标为(1,a-1)

又∵抛物线开口向上，

当时，函数有最小值，当或时，函数有最大，即,

∵函数与在 “相邻函数”，

∴，即∴.

（3）的最大值是2， 的最小值1.

点睛：（1）通过构建函数y=x-1，根据一次函数的性质可得出该函数在0≤x≤2上单调递增，分别代入x=0、x=2即可得出y的取值范围，由此即可得出结论；

（2）由函数y=x2-x与y=x•a在0≤x≤2上是“相邻函数”，构造函数y=x2-（a+1）x，根据抛物线的位置不同，令其最大值≤1、最小值≥-1，解关于a的不等式组即可得出结论．