Question

如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC=6， ．求BE的长．

Answer

（1）证明过程见解析；（2）2.5

【解析】试题分析：（1）连OD，OE，根据圆周角定理得到∠ADO+∠1=90°，而∠CDA=∠CBD，∠CBD=∠1，于是∠CDA+∠ADO=90°；（2）根据已知条件得到△CDA∽△CBD由相似三角形的性质得到，求得CD=4，由切线的性质得到BE=DE，BE⊥BC根据勾股定理列方程即可得到结论．

试题解析：（1）连结OD， ∵OB=OD， ∴∠OBD=∠BDO， ∵∠CDA=∠CBD， ∴∠CDA=∠ODB，

又∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠ADO+∠ODB=90°， ∴∠ADO+∠CDA=90°， 即∠CDO=90°，

∴OD⊥CD， ∵OD是⊙O半径， ∴CD是⊙O的切线

（2）∵∠C=∠C，∠CDA=∠CBD ∴△CDA∽△CBD ∴∵，BC=6， ∴CD=4，

∵CE，BE是⊙O的切线 ∴BE=DE，BE⊥BC ∴BE2+BC2=EC2，即BE2+62=（4+BE）2 解得：BE=2.5

考点：切线的判定与性质．