Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M,经过B,M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径.

（1）求证：AE与⊙O相切；

（2）当BC=4,cosC=时，求⊙O的半径.

Answer

（1）通过证明OM⊥AE即可证明AE与⊙O相切。

(2）半径为

【解析】试题分析：（1）连接OM．根据OB=OM，得∠OMB=∠OBM，结合BM平分∠ABC交AE于点M，得∠OBM=∠EBM，则OM∥BE；根据等腰三角形三线合一的性质，得AE⊥BC，则OM⊥AE，从而证明结论；（2）设圆的半径是r．根据等腰三角形三线合一的性质，得BE=CE=2，再根据解直角三角形的知识求得AB=6，则OA=6-r，从而根据平行线分线段成比例定理求解；

试题解析：

(1) 连接OM，则OM＝OB，如图所示：

∴∠OBM=∠OMB

∵BM平分∠ABC

∴∠OBM=∠EBM

∴∠OMB=∠EBM

∴OM∥BE

∴∠AMO=∠AEB

而在⊿ABC中，AB=AC,AE是角平分线

∴AE⊥BC

∴∠AMO=∠AEB=90°

∴AE与⊙O相切.

(2) 在⊿ABC中，AB=AC,AE是角平分线

∴BE=BC=2,∠ABC=∠ACB

∴在Rt⊿ABC中cos∠ABC=cos∠ACB==

∴AB=6

设⊙O的半径为r,则AO=6-r

∵OM∥BC

∴△AOM∽△ABE

∴=

即 =

∴r=