Question

葡萄在销售时，要求“葡萄”用双层上盖的长方体纸箱封装（上盖纸板面积刚好等于底面面积的2倍），如图

(1)实际运用：如果要求纸箱的高为0.5米，底面是黄金矩形（宽与长的比是黄金比， 取黄金比为0.6），体积为0.3立方米．

①按方案1（如图）做一个纸箱，需要矩形硬纸板A₁B₁C₁D₁的面积是多少平方米？

    ②小明认为，如果从节省材料的角度考虑，采用方案2（如图）的菱形硬纸板A₂B₂C₂D₂ 做一个纸箱比方案1更优，你认为呢？请说明理由．

（2）拓展思维：水果商打算在产地购进一批“葡萄”，但他感觉（1）中的纸箱体积太大，搬运吃力，要求将纸箱的底面周长、底面面积和高都设计为原来的一半，你认为水果商的要求能办到吗？请利用函数图象验证．

Answer

【解析】
（1）①∵纸箱的高为0.5米，底面是黄金矩形（宽与长的比是黄金比，取黄金比为0.6），体积为0.3立方米，

∴假设底面长为x，宽就为0.6x，

∴体积为：0.6x•x•0.5=0.3，

解得：x=1，

∴AD=1，CD=0.6，

DW=KA=DT=JC=0.5，FT=JH=CD=0.3，

WQ=MK=AD=，

∴QM=+0.5+1+0.5+=3，

FH=0.3+0.5+0.6+0.5+0.3=2.2，

∴矩形硬纸板A1B1C1D1的面积是3×2.2=6.6平方米；

②从节省材料的角度考虑，采用方案2（如图）的菱形硬纸板A2B2C2D2做一个纸箱比方案1更优，

∵如图可知△MAE，△NBG，△HCF，△FDQ面积相等，且和为2个矩形FDQD1，

又∵菱形的性质得出，对角线乘积的一半绝对小于矩形边长乘积；

∴从节省材料的角度考虑，采用方案2（如图）的菱形硬纸板A2B2C2D2做一个纸箱比方案1更优，

（2）∵将纸箱的底面周长、底面面积和高都设计为原来的一半时，

∴边长为：0.5，0.3，底面积将变为：0.3×0.5=0.15，将变为原来的，高再变为原来的一半时，体积将变为原来的，

∴水果商的要求不能办到．

【解析】试题分析：（1）①利用宽与长的比是黄金比，取黄金比为0.6，假设底面长为x，宽就为0.6x，再利用图形得出QM=0.5+0.5+1+0.5+0.5=3，FH=0.3+0.5+0.6+0.5+0.3=2.2，进而求出即可；
②根据菱形的性质得出，对角线乘积的一半绝对小于矩形边长乘积即可得出答案；
（2）根据相似三角形的性质面积比等于相似比的平方得出即可．

试题解析：

【解析】
（1）①∵纸箱的高为0.5米，底面是黄金矩形（宽与长的比是黄金比，取黄金比为0.6），体积为0.3立方米，

∴假设底面长为x，宽就为0.6x，

∴体积为：0.6x•x•0.5=0.3，解得：x=1，

∴AD=1，CD=0.6，DW=KA=DT=JC=0.5，FT=JH=CD=0.3，

WQ=MK=AD=，

∴QM=+0.5+1+0.5+=3，

FH=0.3+0.5+0.6+0.5+0.3=2.2，

∴矩形硬纸板A1B1C1D1的面积是3×2.2=6.6平方米；

②从节省材料的角度考虑，采用方案2（如图）的菱形硬纸板A2B2C2D2做一个纸箱比方案1更优，

∵如图可知△MAE，△NBG，△HCF，△FDQ面积相等，且和为2个矩形FDQD1，

又∵菱形的性质得出，对角线乘积的一半绝对小于矩形边长乘积；

∴从节省材料的角度考虑，采用方案2（如图）的菱形硬纸板A2B2C2D2做一个纸箱比方案1更优，

（2）∵将纸箱的底面周长、底面面积和高都设计为原来的一半时，

∴边长为：0.5，0.3，底面积将变为：0.3×0.5=0.15，将变为原来的，高再变为原来的一半时，体积将变为原来的，

∴水果商的要求不能办到．