Question

如图，在平面直角坐标系中，已知A（-3，0），B（0， ），点D与点A关于y轴对称，C在第一象限内且四边形ABCD是平行四边形.

（1）求点C、点D的坐标并用尺规作图确定两点位置（保留作图痕迹）

（2）若半径为1的⊙P从点A出发，沿A—D—B—C以每秒4个单位长的速度匀速移动，同时⊙P的半径以每秒0.5个单位长的速度增加，运动到点C时运动停止，当运动时间为t秒时

①t为何值时，⊙P与y轴相切？

②在整个运动过程中⊙P与y轴有公共点的时间共有几秒？简述过程.

（3）若线段AB绕点O顺时针旋转90°，线段AB扫过的面积是多少？

Answer

（1）C(6，3)， D(3，0) ；（2）① , ,, ；②；（3）

【解析】试题分析：（1）由题可知：AD=AB=6，∠DAB=60°，再根据条件就可求出OB及BC的长，从而得到点C和点D的坐标．以点A为圆心，AB为半径画弧，与x轴交点即为点D；以点D为圆心，AB为半径画弧，以点B为圆心，AD为半径画弧，两弧的交点即为点C．
（2）①分点P在AO、OD、BD、BC上四种情况讨论，然后在直角三角形中运用特殊角的三角函数值建立方程，就可解决问题；
②只需求出三个临界位置（点P分别在AO、OD、BD、BC上，且⊙P与y轴相切）对应的t的值，就可解决问题．
（3）过点O作OH⊥AB，垂足为H，过点O作OH′⊥A′B′，垂足为H′，采用割补法将S阴影转化为S弓形AR+S△OHB+S扇形OBB′-S扇形OHH′-S△OH′B′就可解决问题．

试题解析：

（1）由题可知：AD=AB=6，∠DAB=60°．
∵∠AOB=90°，∴AO=3，OB=3
∴OD=AD-OA=3．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6．
∴点C的坐标为（6，3 ），点D的坐标为（3，0）．
作法：①以点A为圆心，AB为半径画弧，与x轴交点即为点D；
②以点D为圆心，AB为半径画弧；以点B为圆心，AD为半径画弧，两弧的交点即为点C．
如图1所示．

（2）①当点P在AO上时，如图所示：

设时间为t，则r=1+0.5t,此时⊙P与y轴相切，

则AP=4t

∵AP+OP=AO

∴4t+1+0.5t=3,

∴t= ;

当点P在OD上时，如图所示：

设时间为t，则r=1+0.5t,此时⊙P与y轴相切，

OP＝4t－3,

∴4t-3=1+0.5t,

∴t= ,

当点P在BD上时，作PE OB，如图所示：

设时间为t，则r=1+0.5t,此时⊙P与y轴相切，

由PD＝4t-6,

∵BD= ,BP=BD-DP,

∴BP=6-(4t-6)=12-4t,

∵cos∠ODB= , ∠ODB=∠EPB

∴cos∠EPB=

∴t=2;

当点P在BC上时，如图所示：

设时间为t，则r=1+0.5t,此时⊙P与y轴相切，

PB=4t-12

∴4t-12=1+0.5t

∴t= ;

∴当运动时间为 、 、、 时，⊙P与y轴相切；

②当圆P在AO上与y轴相切至圆P在OD上与y轴相切时，圆与y轴有交点，则时间为： ，当圆P在BD上与y轴相切至圆P在BC上与y轴相切时，圆与y轴有交点，则时间为： ，所以总时间为 ；

（3）若线段AB绕点O顺时针旋转90°，线段AB扫过的图形如图8所示，

过点O作OH⊥AB，垂足为H，过点O作OH′⊥A′B′，垂足为H′，如图所示，
则有OH=OA•sin∠HAO=3× ，

同理可得：OH′=，

∵S弓形AR=S扇形OAR-S正△OAR= ，

S扇形OBB′= ，

S扇形OHH′=

S△OHB=S△OH′B′
∴S阴影=S弓形AR+S△OHB+S扇形OBB′-S扇形OHH′-S△OH′B′
=S弓形AR+S扇形OBB′-S扇形OHH′

＝

＝

∴线段AB扫过的面积是。

点睛：本题考查了切线的性质、平行四边形的性质、扇形的面积公式、三角函数值还考查了分类讨论及割补法等数学思想方法，有一定的难度．而正确分类及合理割补是解决本题的关键，是一道易错题。