Question

平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：①EG=EF； ②△EFG≌△GBE； ③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．

其中正确的是________.

Answer

①②④

【解析】试题解析：令GF和AC的交点为点P，如图

∵E、F分别是OC、OD的中点，

∴EF∥CD，且EF=CD，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB∥CD，且AB=CD，

∴∠FEG=∠BGE（两直线平行，内错角相等），

∵点G为AB的中点，

∴BG=AB=CD=FE，

在△EFG和△GBE中，

，

∴△EFG≌△GBE（SAS），即②成立，

∴∠EGF=∠GEB，

∴GF∥BE（内错角相等，两直线平行），

∵BD=2BC，点O为平行四边形对角线交点，

∴BO=BD=BC，

∵E为OC中点，

∴BE⊥OC，

∴GP⊥AC，

∴∠APG=∠EPG=90°

∵GP∥BE，G为AB中点，

∴P为AE中点，即AP=PE，且GP=BE，

在△APG和△EGP中，

，

∴△APG≌△EPG（SAS），

∴AG=EG=AB，

∴EG=EF，即①成立，

∵EF∥BG，GF∥BE，

∴四边形BGFE为平行四边形，

∴GF=BE，

∵GP=BE=GF，

∴GP=FP，

∵GF⊥AC，

∴∠GPE=∠FPE=90°

在△GPE和△FPE中，

，

∴△GPE≌△FPE（SAS），

∴∠GEP=∠FEP，

∴EA平分∠GEF，即④成立．