Question

四边形ABCD 中，AB=3，BC=4，E，F 是对角线 AC上的两个动点，分别从 A，C 同时出发， 相向而行，速度均为 1cm/s，运动时间为 t 秒，当其中一个动点到达后就停止运动．

（1）若 G，H 分别是 AB，DC 中点，求证：四边形 EGFH 始终是平行四边形．

（2）在（1）条件下，当 t 为何值时，四边形 EGFH 为矩形．

（3）若 G，H 分别是折线 A﹣B﹣C，C﹣D﹣A 上的动点，与 E，F 相同的速度同时出发，当 t 为何值时，四边形 EGFH 为菱形．

Answer

（1）证明见解析；

（2）当 t 为 0.5s 或 4.5s 时，四边形 EGFH 为矩形；

（3） t 为s 时，四边形 EGFH 为菱形.

【解析】试题分析：（1）由矩形的性质得出AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B=90°，由勾股定理求出AC=5，由SAS证明△AFG≌△CEH，得出GF=HE，同理得出GE=HF，即可得出结论；

（2）先证明四边形BCHG是平行四边形，得出GH=BC=4，当对角线EF=GH=4时，平行四边形EGFH是矩形，分两种情况：①AE=CF=t，得出EF=5-2t=4，解方程即可；②AE=CF=t，得出EF=5-2（5-t）=4，解方程即可；

（3）连接AG、CH，由菱形的性质得出GH⊥EF，OG=OH，OE=OF，得出OA=OC，AG=AH，证出四边形AGCH是菱形，得出AG=CG，设AG=CG=x，则BG=4-x，由勾股定理得出方程，解方程求出BG，得出AB+BG=，即可得出t的值．

试题解析：（1）∵四边形 ABCD 是矩形，

∴AB=CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B=90°，

∴AC==5，∠GAF=∠HCE，

∵G，H 分别是 AB，DC 中点，

∴AG=BG，CH=DH，

∴AG=CH，

∵AE=CF，

在△AFG 和△CEH中，

∴△AFG≌△CEH（SAS），

∴GF=HE，

同理：GE=HF，

∴四边形 EGFH 是平行四边形．

（2） 由（1）得：BG=CH，BG∥CH，

∴四边形 BCHG 是平行四边形，

∴GH=BC=4，当 EF=GH=4 时，平行四边形 EGFH 是矩形，分两种情况：

①AE=CF=t，EF=5﹣2t=4， 解得：t=0.5；

②AE=CF=t，EF=5﹣2（5﹣t）=4， 解得：t=4.5；

综上所述：当 t 为 0.5s 或 4.5s 时，四边形 EGFH 为矩形．

（3）连接 AG、CH，如图所示：

∵四边形 EGFH 为菱形，

∴GH⊥EF，OG=OH，OE=OF，

∴OA=OC，AG=AH，

∴四边形 AGCH 是菱形，

∴AG=CG，

设 AG=CG=x，则 BG=4﹣x， 由勾股定理得：AB2+BG2=AG2， 即 32+（4﹣x）2=x2，

解得：x= ，

∴BG=4﹣ = ，

∴AB+BG=3+ = ，

即 t 为s 时，四边形 EGFH 为菱形．