Question

已知抛物线与轴交于点A和点B（3，0），与轴交于点C（0，3），P是线段BC上一点，过点P作PN∥轴交轴于点N，交抛物线于点M．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）如果点P的横坐标为2，点Q是第一象限抛物线上的一点，且△QMC和△PMC的面积相等，求点Q的坐标；

（3）如果，求tan∠CMN的值．

Answer

（1）抛物线的表达式为；（2）点Q的坐标为（；（3）2.

【解析】试题分析：（1）将B(3，0)，C(0，3)代入y=-x2+bx+c，求得b、c的值，即可得该抛物线的表达式；（2）设直线BC的解析式为，把点C(0，3)，B(3，0)代入，求得直线BC的解析式为，即可得P（2，1），M（2，3） 所以，设△QCM的边CM上的高为h，则，可得，即可得Q点的纵坐标为1，所以解得，即可得点Q的坐标为（；（3）过点C作，垂足为H，设M，则P，因为，可得，由此可得，解得，即可得点P 的坐标为（，所以M，求得，所以.

试题解析：

（1）将，代入，得

解得

∴抛物线的表达式为

（2）设直线BC的解析式为，把点C(0，3)，B(3，0)代入得

，解得 ∴直线BC的解析式为

∴P（2，1），M（2，3）

∴，设△QCM的边CM上的高为h，则

∴

∴Q点的纵坐标为1，∴解得

∴点Q的坐标为（

（3）过点C作，垂足为H

设M，则P

∵，∴，∴

解得，∴点P 的坐标为（

∴M

∴，∴

点睛：本题是二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线、直线的解析式，三角形面积计算，方程思想，以及分类思想，综合性较强，有一定的难度．