Question

如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cosB=，BC=3，P是射线AB上的一个动点，以P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，直线PD交直线BC于点E．

（1）当PA=1时，求CE的长；

（2）如果点P在边AB的上，当⊙P与以点C为圆心，CE为半径的⊙C内切时，求⊙P的半径；

（3）设线段BE的中点为Q，射线PQ与⊙P相交于点F，点P在运动过程中，当PE∥CF时，求AP的长．

Answer

（1）；（2）；（3）或.

【解析】试题分析：(1)作PH⊥AC，垂足为H，由垂径定理可得AH=DH，由cosB= BC=3，可得AB=5，AC=4，再由PH∥BC，可得，代入数据求得PH= ，即可求得，由，代入数据求得CE的长即可；（2）当⊙P与⊙C内切时，点C在⊙P内，可得点D在AC的延长线上，过点P作PG⊥AC，垂足为G，设PA=，则，，，，根据，代入数据可得，解得，因⊙P与⊙C内切,即可得，所以，即，解得，（舍去），即当⊙P与⊙C内切时，⊙P的半径为；（3）先证明四边形PDCF是平行四边形，可得PF=CD，再分当点P在边AB的上和当点P在边AB的延长线上两种情况求AP的长.

试题解析：

（1）作PH⊥AC，垂足为H，∵PH过圆心，∴AH=DH

∵∠ACB=90°，∴PH∥BC， ∵cosB=，BC=3，∴AB=5，AC=4

∵PH∥BC，∴，∴，∴

∴

∴DC=，又∵，∴，∴

（2）当⊙P与⊙C内切时，点C在⊙P内，∴点D在AC的延长线上

过点P作PG⊥AC，垂足为G，设PA=，则，

，，∵，，…（1分）

∵⊙P与⊙C内切,∴

∴

∴,∴，（舍去）

∴当⊙P与⊙C内切时，⊙P的半径为．

（3）∵∠ABC+∠A=90゜，∠PEC+∠CDE=90゜，∠A=∠PDA，

∴∠ABC=∠PEC

∵∠ABC=∠EBP，

∴∠PEC=∠EBP，

∴PB=PE

∵点Q为线段BE的中点，

∴PQ⊥BC，∴PQ∥AC

∴当PE∥CF时，四边形PDCF是平行四边形，∴PF=CD

当点P在边AB的上时，，

当点P在边AB的延长线上时，，

综上所述，当PE∥CF时，AP的长为或．

点睛：本题考查的是圆的综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定及平行线分线段成比例定理等知识，难度适中．