Question

如图，E、F分别为正方形ABCD的边AB、AD上的点，且AE=AF，联接EF，将△AEF绕点A逆时针旋转45°，使E落在E，F落在F，联接BE并延长交DF于点G，如果AB=，AE=1，则DG=______.

Answer

【解析】在Rt△AEF中，由勾股定理可得EF= ，把△AEF绕点A逆时针旋转45°可得△AE1F1，可得E1F1=EF=，∠E1AM=45°，可得AM=F1M= ，因AB= ，可得DM= ，在Rt△DMF1中，由勾股定理可得DF1= ，利用SAS证明△ABE1≌△ADF1，根据全等三角形的性质可得∠E1BA=∠ADF1，由此易证BG⊥DF1，因E1F1∥AB，根据平行线的性质可得∠E1BA=∠GE1F1，所以∠ADF1=∠GE1F1，即可证明△GE1F1∽△MDF1，根据相似三角形的性质可得 ，即 ，解得F1G= ，所以DG=DF1-F1G= .

点睛：本题是正方形、旋转、全等三角形、相似三角形的综合题，解决本题的关键是根据已知条件，正确画出图形；会综合运用正方形的性质、旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质解决问题.