Question

如图，在△ABC中，∠ACB为直角，AB=10，°，半径为1的动圆Q的圆心从点C出发，沿着CB方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点B出发，沿着BA方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，PB长为半径的⊙P与AB、BC的另一个交点分别为E、D，连结ED、EQ．

（1）判断并证明ED与BC的位置关系，并求当点Q与点D重合时t的值；

（2）当⊙P和AC相交时，设CQ为，⊙P被AC 截得的弦长为，求关于的函数； 并求当⊙Q过点B时⊙P被AC截得的弦长；

（3）若⊙P与⊙Q相交，写出t的取值范围．

Answer

（1）ED⊥BC，；（2），；（3）

【解析】试题分析：（1）连接PD，由PB=PD，PD=PE，可得∠PBD=∠PDB，∠PDE=∠PED，再由三角形的内角和定理可得∠BDE=∠BDP+∠PDE=90°，即可得DE⊥BC；因DE∥CA，可得△BDE∽△BCA，根据相似三角形的性质可得，设CQ=CD=t，BD=5-t，BE=2t，代入求得t值即可；设⊙P和AC相交于 M、N，BP=CQ=x，AP=AB-BP=10-x,过点P作PH⊥AC于点 H,在Rt△APH中，可得PH= AP，PH=(10-x)，在Rt△PHN中，即可求得y关于x的函数；如图，当⊙Q经过B点时， CQ=CB﹣QB=4，将t的值代入即可求得MN的长；（3）当Q⊙P与⊙Q外切时，如图，此时易知∠QBP=60°，BQ=5-t，PQ=t+1，BP=t，，因从此时起直至停止运动，⊙P与⊙Q都处于相交位置，即可得⊙P与⊙Q相交时t的取值范围.

试题解析：

（1）连接PD，∵B、E、D都在⊙P上

∴PB=PD，∠PBD=∠PDB， PD=PE，∠PDE=∠PED

∵△BDE的内角和为180° ∴∠BDE=∠BDP+∠PDE=90°，

∴即：DE⊥BC

∵∠BCA=90°，°

∴DE∥CA，∴△BDE∽△BCA，

∴

设CQ=CD=t，BD=5-t，BE=2t

代入有 解得：

∴当时Q与D重合.

（2）设⊙P和AC相交于 M、N，

BP=CQ=x，AP=AB-BP=10-x过点P作PH⊥AC于点 H

在Rt△APH中，易知：

PH=

在Rt△PHN中，易知：HN==

当⊙Q经过B点时，（如图） CQ=CB﹣QB=4，

将代入得：

（3）当Q⊙P与⊙Q外切时，如图，

易知此时∠QBP=60°，BQ=5-t，PQ=t+1，BP=t

，

∵从此时起直至停止运动，⊙P与⊙Q都处于相交位置

∴⊙P与⊙Q相交时t的取值范围为：

点睛：本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，学生需要根据题意画出相应的图形来分析，并且能综合运用所学知识进行解答．