Question

如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO，已知BD=．

（1）求正方形ABCD的边长；

（2）求OE的长；

（3）①求证：CN＝AF；

②直接写出四边形AFBO的面积．

Answer

（1）2；（2）；（3）①证明见解析，②

【解析】试题分析:(1)根据正方形的性质以及勾股定理即可求得;(2)根据等腰三角形三线合一的性质证得点E是AF中点,依据三角形中位线OE＝CF＝;(3) ①通过证明△NCB≌△FAB可证得CN＝AF; ②依据△AFC的面积-△BOC的面积.

试题解析：

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝CD＝BC，∠BCD＝∠ABC＝90°，

∴2BC2=BD2，∵BD=，∴AB= BC =2，

∴正方形ABCD的边长为2；

（2）∵CF=CA，AF是∠ACF的平分线，

∴CE⊥AF，∴∠AEC=∠CEF=90°，E为AF的中点，

∵正方形ABCD，∴O为AC的中点，AC＝BD＝，

∴OE＝CF＝BD＝，

（3）①证明：∵∠ABC＝∠ABF＝∠CEF=90°，AB＝BC，

∴∠ECB＋∠F＝∠FAB＋∠F＝90°，∴∠ECB＝∠FAB，

∴△NCB≌△FAB，

∴CN＝AF．

② ．

点睛:本题综合考查了菱形、矩形、正方形的有关性质及判定，其中还串联到等腰三角形和勾股定理等知识，充分体现出几何知识的整体性和推理的严密性．在解答有关特殊四边形的性质或判定问题时，既要依托数，也要依托形，这是解答几何问题的最基本的思想方法．