Question

问题背景：已知在△ABC中，边AB上的动点D由A向B运动（与A，B不重合），同时点E由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点，求的值．

（1）初步尝试

如图（1），若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D、E的运动速度相等，小王同学发现可以过点D作DG∥BC交AC于点G，先证GH＝AH，再证GF＝CF，

从而求得的值为       ．

（2）类比探究

如图（2），若△ABC中，∠ABC＝90°，∠ADH＝∠BAC＝30°，且点D，E的运动速度之比是︰1，求的值．

（3）延伸拓展    

如图（3）若在△ABC中，AB＝AC，∠ADH＝∠BAC＝36°，记＝m，且点D、E的运动速度相等，试用含m的代数式表示的值（直接写出果，不必写解答过程）．

Answer

（1）2；（2）；（3）

【解析】（1）过点D作DG∥BC交AC于点G，由题意知△AGD是等边三角形，所以AD=GD，所以可以证明△GDF≌△CEF，所以CF=GF，由三线合一可知：AH=GH，所以=2；

（2）过点D作DG∥BC交AC于点G，由点D、E的运动速度之比是：1可知GD=CE，所以可以证明△GDF≌△CEF，所以CF=GF，所以CF=GF，由∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°可知：AH=DH，所以=2；

（3）类似（1）（2）的方法可求出=m和=m，然后利用GH+FG=m（AC-HF），

即可求出的值.

【解析】
（1）过点D作DG∥BC交AC于点G，

∵△ABC是等边三角形，

∴△AGD是等边三角形，

∴AD=GDA，

由题意知：CE=AD，

∴CE=GD，

∵DG∥BC，

∴∠GDF=∠CEF，

在△GDF与△CEF中，

∠GDF=∠CEF，∠GFD=∠EFC，CE=GD，

∴△GDF≌△CEF（AAS），

∴CF=GF，

∵DH⊥AG，

∴AH=GH，

∴AC=AG+CG=2GH+2CF=2（GH+CF），HF=GH+GF，

∴=2；

（2）

如图（1）过点D作DG∥BC交AC于点G，

则∠ADG＝∠ABC＝90°．

∵∠BAC＝∠ADH＝30°，

∴AH＝DH，∠GHD＝∠BAC＋∠ADH＝60°，

∠HDG＝∠ADG－∠ADH＝60°，

∴△DGH为等边三角形．

∴GD＝GH ＝DH ＝AH，AD＝GD·tan60°＝GD．

由题意可知，AD＝CE．∴GD＝CE．

∵DG∥BC，∴∠GDF＝∠CEF，∠DGF＝∠ECF．

∴△GDF≌△CEF．∴GF＝CF．

GH＋GF＝AH＋CF，即HF＝AH＋CF，

∴HF＝AC＝2，即．

（3） ．

提示：如图（2）

，

过点D作DG∥BC交AC于点G，

易得AD＝AG，AD＝EC，∠AGD＝∠ACB．

在△ABC中，∵∠BAC＝∠ADH＝36°，AB＝AC，

∴AH＝DH，∠ACB＝∠B＝72°，∠GHD＝∠HAD＋∠ADH＝72°．

∴∠AGD＝∠GHD＝72°．

∵∠GHD＝∠B＝∠HGD＝∠ACB，∴△ABC∽△DGH．∴，

∴GH＝mD H＝mA H．

由△ADG∽△ABC可得．

∵DG∥BC，∴．∴FG＝mFC．

∴GH＋FG＝m（AH＋FC）＝m（AC－HF），

即HF＝m（AC－HF）．∴ ．

“点睛”本题考查三角形的综合问题，涉及全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质等知识，内容比较综合，需要学生灵活运用所学的知识进行解答.