Question

如图.点D是Rt△ABC斜边BC的中点，⊙O是△ABD的外接圆，交AC于点F. DE平分∠ADC，交AC于点E.

求证：DE是⊙O的切线；

若CE=4，DE=2，求⊙O的直径.

Answer

（1）证明见解析；（2）5

【解析】（1）连接BF，OD，利用三角形中位线定理证明OD∥AC，再证明OD⊥DE即可.

（2）先证FD垂直平分BC ，再由Rt△DFE∽Rt△CDE求出FE.

【解析】
（1）连接BF，OD

∵∠BAC=90°

∴BF为直径，O为BF中点.

∵点D是BC的中点

∴OD是△BFC的中位线，即OD∥AC.

∵点D是Rt△ABC斜边BC的中点

∴△ADC是等腰三角形

∵DE平分∠ADC

∴DE⊥AC

∴OD⊥DE，即DE是⊙O的切线

（2）连接DF.

∵BF为直径

∴FD⊥BC

又∵点D是BC的中点

∴FD垂直平分BC 即BF=FC

由Rt△DFE∽Rt△CDE

即. FE=1

∴BF=FC=FE+EC=5

“点睛”考查了切线的判定定理，涉及的知识有，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，以及圆内接四边形的性质，切线的判定方法有两种：有点连接证垂直；无点作垂线，证明垂线段等于半径.