Question

如图1，抛物线y=ax²+bx+3经过A（-3，0），B（-1，0）两点，抛物线的顶点为M.（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线与y轴的交点为Q如图1，直线y=-2x+9与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．当抛物线的顶点平移到D点时，Q点移至N点，求抛物线上的两点M、Q间所夹的曲线MQ扫过区域的面积；（3）设直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D. 如图2，现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；

Answer

（1）抛物线解析式为y=x2+4x+3；（2）；（3）顶点横坐标h的取值范围为h=4或 .

【解析】（1）将A、B两点的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值．
（2）连接MQ、DN后，由图可以发现弧MQ扫过的面积正好是四边形MQND的面积；连接QD，则四边形MQND的面积是两倍的△MQD的面积，所以这道题实际求的是△MQD的面积；由（1）的抛物线解析式，不难求出顶点M的坐标，联立直线OM和直线CD的解析式可以求出点D的坐标；以OQ为底，M、D两点的横坐标差的绝对值为高即可得△MQD的面积，则此题可求．
（3）在平移过程中，抛物线的开口方向和大小是不变的，即二次项系数不变；抛物线的顶点始终在直线OM上，根据直线OM的解析式（y=x）可表达出抛物线顶点的坐标（h，h），可据此先设出平移后的抛物线解析式；若求平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有公共点时顶点横坐标的取值范围，那么就要考虑到两个关键位置：
①抛物线对称轴右侧部分经过C点时，抛物线顶点横坐标h的值（设此时h=α）；
②抛物线对称轴左侧部分与直线CD恰好有且只有一个交点时，h的值（设此时h=β）；
那么，符合条件的抛物线顶点横坐标的取值范围可表达为：h＜α或h＞β．

（1）抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点，

∴，

解得a=1，b=4，

∴抛物线解析式为y=x2+4x+3；

（2）由（1）配方得y=（x+2）2﹣1， ∴抛物线的顶点M（﹣2，﹣1），

∴直线OD的解析式为y=x．

由方程组，计算得出，∴D（）.

如图（1）由平移的性质知，抛物线上的两点M(-2,-1)、Q(0,3)间所夹的曲线扫过的区域的面积即为平行四边形MDNQ的面积，连接QD,

∴S平行四边形MDNQ=2S△MDQ=2(S△OQM+ S△ODQ)=

(3) 由（2）知抛物线的顶点M（﹣2，﹣1），直线OD的解析式为y=x．

于是设平移后的抛物线的顶点坐标为（h，h），

∴平移后的抛物线解析式为y=（x﹣h）2+h，

①当抛物线经过点C时，∵C（0，9），

∴h2+h=9，解得h=，

∴当≤h＜时，平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，

②当抛物线与直线CD只有一个公共点时，由方程组，

得x2+（﹣2h+2）x+h2+h﹣9=0，

∴△=（﹣2h+2）2﹣4（h2+h﹣9）=0，

解得h=4，

此时抛物线y=（x﹣4）2+2与射线CD只有唯一一个公共点为（3，3），

综上所述，平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点时，

顶点横坐标h的取值范围为h=4或≤h＜；

“点睛”该题主要考查了二次函数解析式的确定、图形的平移及其性质、函数图象交点坐标的求法等重点知识；（2）题中，要通过观察图形找出曲线扫过的面积和平行四边形的面积之间的联系；最后一题中，要注意“射线CD”这个条件．