Question

（1）已知：如图1，BE⊥DE，∠1=∠B，∠2=∠D，试证明AB与CD平行。

（2）若图形变化为如图2、图3所示，且满足AB∥ CD，BE⊥DE，∠1=∠B，∠2=∠D，那么∠1与∠2有怎样的关系？选择一个图形进行证明。

Answer

（1）证明见解析；（2）∠1+∠2=90°；证明见解析.

【解析】试题分析：（1）过点E作EN∥AB，根据平行线的性质得到∠BEN=∠B，等量代换得到∠BEN=∠1，推出∠D=∠DEN，根据平行线的判定即可得到结论；

（2）如答图2，过点E作EN∥AB，根据平行线的性质得到∠B=∠1，量代换得到∠BEN=∠1，推出EN∥CD，于是得到结论．

试题解析：

(1)过点E作EN∥AB，

则∠BEN=∠B，∵∠1=∠B，

∴∠BEN=∠1，

∵∠BEN+∠DEN=∠BED=90∘，

∴∠1+∠2=90∘，

∴∠2=∠DEN，

∵∠2=∠D，

∴∠D=∠DEN，

∴AB∥CD；

(2)

如答图2,过点E作EN∥AB，

∴∠BEN=∠B，

∵∠B=∠1，

∴∠BEN=∠1，

∵∠BED=90∘=∠BEN+∠DEN,∠1+∠2=90∘，

∴∠DEN=∠2，

∵∠2=∠D，

∴EN∥CD，

∴AB∥CD.

点睛：转化思想在此类问题中的应用：（1）把分散的角通过平行线的性质，转化集中在一起，应用角的和差倍分关系决；（2）当所求的角和已知平行线没有直接关系时，解可以通过添加辅助线，借助于平行线的性质解决问题；（3）与拐点有关的平行线问题，辅助线的做法通常是过拐点作已知直线的平行线，构造出同位角、内错角和同旁内角.