Question

如图，正方形ABCD中，点E在BC上，且CE=BC，点F是CD的中点，延长AF与BC的延长线交于点M．以下结论：①AB=CM；②AE=AB+CE；③S_△AEF=S_{四边形ABCF}；④∠AFE=90°．其中正确结论的个数有（　　）

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

Answer

C

【解析】由题意知，∵点F是CD的中点，∴DF=CF，

又∵∠D=∠FCM，∠DFA=∠CFM，

∴△ADF≌△MCF，

∴CM=AD=AB，

①正确；

设正方形ABCD边长为4，

∵CE=BC=1，

∴BE=3，

∴AE=5，

∴AE=AB+CE，

②正确；

EM=CM+CE=5=AE，

又∵F为AM的中点，

∴EF⊥AM，

④正确，

由CF=2,CE=1得EF=，

由DF=2,AD=4得AF=，

∴S△AEF=5，

又S△ADF=4，

∴S四边形ABCF=S□ABCD−S△ADF=12，

③不正确，

故正确的有3个，选C.

点睛：正方向的对角线不仅相等，垂直，互相平分，而且每条对角线平分一组对角；涉及到中点时，要考虑三角形的中位线的性质；由“点F是CD的中点，延长AF与BC的延长线交于点M”知AD=CM，即AB=CM，由边长关系可知AE=EM，F为中点知，EF⊥AM，再根据面积S四边形ABCF=S□ABCD-S△ADF得面积关系．