Question

如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H．

（1）猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；

（2）当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由；

（3）如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．

Answer

（1）四边形EFGH是菱形；

（2）成立，理由见解析；

（3）补全图形见解析；四边形EFGH是正方形，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）连接AD、BC，利用SAS可判定△APD≌△CPB，从而得到AD=BC，因为EF、FG、GH、EH分别是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位线，则可以得到EF=FG=GH=EH，根据四边都相等的四边形是菱形，可推出四边形EFGH是菱形；（2）成立，可以根据四边都相等的四边形是菱形判定；（3）先将图形补充完整，再通过角之间的关系得到∠EHG=90°，已证四边形EFGH是菱形，则四边形EFGH是正方形．

试题解析：（1）四边形EFGH是菱形．

（2）成立．理由：连接AD，BC．

∵∠APC=∠BPD，

∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD．

即∠APD=∠CPB．

又∵PA=PC，PD=PB，

∴△APD≌△CPB（SAS）

∴AD=CB．

∵E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，

∴EF、FG、GH、EH分别是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位线．

∴EF=BC，FG=AD，GH=BC，EH=AD．

∴EF=FG=GH=EH．

∴四边形EFGH是菱形．

（3）补全图形，如答图．

判断四边形EFGH是正方形．

理由：连接AD，BC．

∵（2）中已证△APD≌△CPB．

∴∠PAD=∠PCB．

∵∠APC=90°，

∴∠PAD+∠1=90°．

又∵∠1=∠2．

∴∠PCB+∠2=90°．

∴∠3=90°．

∵（2）中已证GH，EH分别是△BCD，△ACD的中位线，

∴GH∥BC，EH∥AD．

∴∠EHG=90°．

又∵（2）中已证四边形EFGH是菱形，

∴菱形EFGH是正方形．

点睛：正方形、矩形、菱形、平行四边形之间的关系反映了几种特殊的平行四边形有特殊到一般的关系，可从概念、性质、判定三方面进行对比理解；各种特殊的四边形之间的联系及区别要掌握好，通常还会和三角形中位线、勾股定理想联系.