Question

如图，抛物线y=ax²+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．

（1）求这条抛物线对应的函数解析式；

（2）求直线AB对应的函数解析式．

Answer

（1）y=x2+2x+1；（2）y=2x+2．

【解析】

试题分析：（1）抛物线与x轴仅有1个交点可知△=0时，即可得到4a2﹣4a=0，解方程即可求得a，即可得到抛物线解析式；（2）先求得A的坐标，已知点C是线段AB的中点，可判定点A与点B的横坐标互为相反数，再确定B点坐标，最后利用待定系数法求直线AB的解析式．

试题解析：

（1）∵抛物线y=ax2+2ax+1与x轴仅有一个公共点A，

∴△=4a2﹣4a=0，解得a1=0（舍去），a2=1，

∴抛物线解析式为y=x2+2x+1；

（2）∵y=（x+1）2，

∴顶点A的坐标为（﹣1，0），

∵点C是线段AB的中点，

即点A与点B关于C点对称，

∴B点的横坐标为1，

当x=1时，y=x2+2x+1=1+2+1=4，则B（1，4），

设直线AB的解析式为y=kx+b，

把A（﹣1，0），B（1，4）代入得，解得，

∴直线AB的解析式为y=2x+2．

考点：待定系数法求函数解析式．